W 1910 r. wstąpił do Seminarium Duchownego w Kielcach. W czasie I wojny światowej przeniósł się na Akademię Duchowną w Petersburgu, gdzie 2 czerwca 1916 r. otrzymał święcenia kapłańskie, a dwa lata później tytuł kandydata nauk teologicznych.

Po powrocie do Polski przeniósł się na Katolicki Uniwersytet Lubelski, gdzie uzyskał tytuł magistra (1919 r.) oraz stopień doktora (1932 r.). Następnie przez 18 lat był profesorem Seminarium Duchownego w Kielcach, zaś od 1936 r. Uniwersytetu Stefana Batorego w Wilnie. Jednocześnie uczył religii i języka łacińskiego oraz prowadził konferencje radiowe. Publikował też prace o nauczaniu i wychowaniu w szkole.

Po wybuchu II wojny światowej Wilno wcielono do Litwy, gdzie zamknięto polskie uczelnie, a niecały rok po agresji III Rzeszy na Związek Sowiecki, w marcu 1942 r., gestapo rozpoczęło aresztowania polskiej inteligencji. Wśród aresztowanych znalazł się ks. Klepacz, który po ponad dwóch latach obozowej gehenny uciekł i w sierpniu 1944 r. powrócił do Wilna.

Rok 1945 nie przyniósł oczekiwanej wolności. Władze sowieckie zamknęły wileńskie seminarium i zmusiły polskich profesorów do opuszczenia miasta. Zręby uczelni zaczęto tworzyć na nowo w Białymstoku.

W styczniu 1947 r. prymas Polski kard. August Hlond powiadomił ks. Klepacza o mianowaniu go przez papieża Piusa XII ordynariuszem diecezji łódzkiej. Urząd ten objął 2 marca 1947 r. Konsekracja biskupia odbyła się 13 kwietnia, zaś tydzień później uroczysty ingres do łódzkiej katedry.

Stan diecezji łódzkiej nie był dobry. Zniszczone i uszkodzone kościoły wymagały odbudowy i renowacji. Brakowało kapłanów, gdyż w czasie wojny diecezja straciła 43 proc. księży. Należało także odebrać z rąk komunistów gmach seminarium.

W grudniu 1947 r. bp Klepacz odzyskał budynek Wyższego Seminarium Duchownego. Powołał też Niższe Seminarium Duchowne realizujące program szkoły średniej. W ciągu jego 20-letniej posługi święcenia przyjęło 251 kleryków (średnia w Polsce wynosiła ok. 200). Ordynariusz dbał również o środowisko studenckie, powołując dwa duszpasterstwa akademickie („Węzeł” i „Piątka”). Zwołał także dwa synody diecezjalne (w 1948 i 1958 r.) dotyczące ujednolicenia lokalnych przepisów kościelnych.

Za jego czasów odbudowano zniszczone świątynie oraz powołano przy kościołach filialnych 15 parafii, zwiększając ich liczbę do 146. Jednak dalszy rozwój utrudniały wrogo nastawione wobec Kościoła komunistyczne władze, które zezwoliły na budowę tylko czterech nowych kościołów spośród 14 postulowanych.

W okresie internowania prymasa kard. Stefana Wyszyńskiego w latach 1953-56 bp Klepacz pełnił obowiązki przewodniczącego Episkopatu Polski. Uczestniczył także aktywnie w sesjach Soboru Watykańskiego II (1962-65), podczas których wygłosił 12 wykładów, m.in. nt. relacji państwo – Kościół i obecności Kościoła w świecie współczesnym.

Biskup Michał Klepacz zmarł 27 stycznia 1967 r. Został pochowany w krypcie biskupów łódzkich.